점탄성 재료의 변형율 관계와 손실계수 그리고 운동방정식

점탄성 재료의 응력-변형율 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다. (2.5) 여기서, 로 는 영률이고 는 손실계수(Loss Factor)를 의미한다. 이 손실계수로 인하여 점탄성 재료는 감쇠 특성을 갖는데, 점탄성 재료 특성의 모델링 방법은 선형 강성과 점성 감쇠를 조합하는 방식으로 널리 사용된다. 조합 방식으로는 Maxwell 방식, Kelvin-Voight 방식, 그리고 두 가지 방식을 다시 조 합한 표준 방식이 있다. 그림 7은 세 방식을 보여주고 있으며, 통칭하여 고전적 모델링이라 불리기도 한다. 어떠한 모델이 점탄성 물체의 특성을 잘 반영하는 지는 재료마다 다르며, 일반 적으로 어떠한 모델도 모든 점탄성 물체의 특성을 정확히 반영하지 못한다. 본 연구에서는 고무의 물성을 선형화하여 해석상에 스프링-감쇠 모델로 반영하기 위해 점탄성 물체를 Kelvin-Voight 모델로 이상화하였다. 그림 7. 점탄성 모델 [Fig.7 Visco-elastic Model] - 12 - 그림 8. Kelvin-Voight이론의 감쇠 진동계 모델 [Fig.8 Damped Vibration System Model of Kelvin-Voight Theory] Kelvin-Voight 모델의 감쇠 진동계의 운동방정식은 식 2.6과 같이 정리 할 수 있다. (2.6) 정상상태 해를 구하기 위해 를 대입하여 좌 우변을 정리하면, (2.7) 이를 다시 식 2.8으로 정리할 수 있다. (2.8) 여기서 를 복소 강성(Complex Stiffness)이라 부르는데 는 Kelvin-Voight 모델의 손실계수가 된다. 이 손실계수 형태에서 관찰할 수 있듯이 손실계수는 감쇠 상수뿐만 아니라 가진 주파수에도 영향을 받을 수 있는 것을 알 수 있다. - 13 - 2.3 유한요소해석 이론 2.3.1 고유진동해석 기초 가진에 의한 조화응답해석을 하기 전에 고유진동해석이 꼭 필요한 것은 아니나 고유진동수 근처에서 전달율이 크게 나타나고 고유 모드에 대한 정보를 알 수 있다[23-27]. 고유진동해석(모드 해석)은 구조물에 외력과 감쇠가 없는 조 건에 대한 자유진동해석(Undamped Free Vibration)을 나타내며, 식 2.9와 같이 수식화 할 수 있다. (2.9) 식 2.9를 일반적인 다자유도계(Multiple DOF System)을 행렬식으로 표현하면 다음과 같다. (2.10) 식 2.10은 단순조화운동(Simple Harmonic Motion)을 나타내며, 단순조화운동의 일반해는 sin, 즉 형태로 가정할 수 있다. 가정해 로부터 이고 이 두 항을 식에 대입하면 다음과 같다. (2.11) (2.12) 이 식은 고유치 문제(Eigen Problem)이며 는 진동수, 는 고유치, 그리고 는 모드 형상이 된다. 최종적으로 방정식으로부터 이 방정식의 해를 구하는 것, 즉 고유진동해석은 결국 관성항과 탄성항이 서로 평형이 되는 진 동수와 모드 형상을 찾는 것을 의미하는 것을 알 수 있다. - 14 - 2.3.2 조화응답해석 재료의 물성치 및 구속 조건을 고려하여 유한요소 모델을 적용하면 EOTS 플 랫폼의 조화응답해석을 통해서 전달율을 계산할 수 있다[28-29]. 조화응답해석을 위한 유한요소 식은 식 2.13과 같이 나타낼 수 있다. (2.13) 위에서 언급한 식 2.13의 해는 EOTS 플랫폼의 모든 점에서의 변위는 다음 식 2.14와 같이 쓸 수 있다. (2.14) max와 는 각각의 자유도에 따라 다르게 나타나며, 식 2.14를 다르게 표현하 면 식 2.15 또는 식 2.16과 같이 나타낼 수 있다. (여기서, 이다.)max cossin(2.15) (2.16) 한편, 힘 벡터는 변위 벡터와 유사하게 식 2.17, 식 2.18 그리고 식 2.19과 같이 정의될 수 있다. max (2.17)sin(2.18)(2.19) - 15 - 구조 시스템의 운동 방정식 식 2.13은 식 2.20과 식 2.21을 이용하면 아래와 같 이 쓸 수 있으며,(2.20)(2.21) 변위와 위상에 대한 결과는 최종적으로 식 2.22, 식 2.23과 같이 계산된다. (2.22) (2.23) 조화응답해석을 하기 위해서는 일정한 범위의 진동수를 갖는 외부 가진이 필 요하다. 가진에는 힘, 속도, 변위 및 가속도 가진이 있으며, 본 연구에서는 가속 도 전달율이 주 관심이므로 기초 가진 가속도로 인한 시스템의 응답 가속도만 계산하였다. 비행 중 EOTS 플랫폼은 프로펠러의 진동에 의해 z축 방향으로 기 초 가진 가속도를 받을 수 있어 이때의 가진을 고려한 플랫폼의 진동 특성을 분 석하였다. 해석은 Ansys 20에서 제공하는 기초 가속도 가진을 직접적으로 경계 구속조건 에 부여하는 기반 가진(Base Extension) 기능을 활용하여 조화응답해석을 수행 하였다. 조화해석 수행을 위해 사용되는 방식에는 크게 Full Solution Method와 Mode-Superposition Method(MSUP)이 있고 본 해석에서는 Mode Superposition Method를 활용하여 해석을 수행하였다.